直角三角形の斜辺の長さはのこり2辺の和??

図で、辺の長さが縦横それぞれA,Bの長方形があるとします。この長方形のはじからはじまで階段状の
折れ線を描きます。折れ線の水平な部分の長さを全部たすとA,垂直な部分の長さを全部たすとBとなるので、折れ線の全長はA+Bです。
 折れ線をどんどん細かくしていくと、やがて折れ線は対角線と見分けがつかなくなりますが、その全長はやはりA+Bとなっています。ゆえに、直角三角形の斜辺のながさは残りの2辺の和と等しい。
 なぜ間違っているのでしょうか?どこかで見ましたけど、分かりません。教えてください。

投稿日時 - 2011-06-16 16:54:02

QNo.6813918

困ってます

質問者が選んだベストアンサー

>>>でも円の体積とかも、教科書(微積使わない説明)では、たくさんの角錐もどきに分解して、細かく分けていけばやがてほとんど角錐だから計算できて・・・みたいな説明でした。それがよくてこの問題ではだめな理由がいまいちわかりません。

100人の人の体重を集計した棒グラフがあるとき、下は平坦でも上はぎざぎざになっていますよね。
しかし、面積は100になりますね。

長さを測ることと面積を求めることは別のことなのです。
次元が違うものを同じように考えてはいけない。

投稿日時 - 2011-06-16 18:11:44

お礼

みなさんありがとうございました。

投稿日時 - 2011-06-16 18:27:10

ANo.3

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ベストアンサー以外の回答(3件中 1~3件目)

ANo.4

その図の辺A、Bの長さをa、bとし、その線の段の数(2回90度折れ曲がる度に一段)をxとする。
その長方形の対角に90度で折れ曲がる階段状の線の長さlは

(1) l =( a / x + b / x )x
l = ax / x + bx / x
l = a + b

となり、xにどのような数を代入しても辺A,Bの和と変わらないことがわかる。

次に同じ長方形で対角線Cを一本書く。
その対角線の長さcは三平方の定理を用いると

a^2 + b^2 = c^2
(2) c=√( a^2 + b^2 )

となる。

仮に辺A,Bの和の長さが対角線Cと等しいとするならば、式(1)と式(2)が等しくならなければならない。
つまり、

l = c
( a / x + b / x )x = √( a^2 + b^2 )

とならなければならない。
仮にa=5、b=8とすると

( 5 / x + 8 / x )x = √( 5^2 + 8^2 )
5x / x+ 8x / x = √(25 + 64)
5 + 8 = √89
13 = 9.43

となり、等しくないことがわかる。
つまり、その方法じゃ対角線の長さは導き出せない。

ようは(1)の式で求める階段状の線は、いくら細かくして見た目が対角線と同じになろうとあくまでも90度に折れ曲がった階段状の線でしかなく、直線になることは無い。
この階段状の線と直線である対角線はそりゃ長さは違う訳ですよ。
だいたいこんな感じで理解できましたか?

投稿日時 - 2011-06-16 18:23:44

ANo.2

どれだけ細かくしても直線じゃないから。

…それだけなんですけどね。

投稿日時 - 2011-06-16 17:18:09

ANo.1

こんにちは。

数式で考えると、かえってわかりやすいです。

A方向の長さをn等分、B方向の長さもn等分します。

すると折れ線の長さは、
Σ[k=1⇒n]A/n + Σ[k=1⇒n]B/n

n⇒∞ の極限を取ると、
 = lim[n⇒∞](Σ[k=1⇒n]A/n + Σ[k=1⇒n]B/n)
 = lim[n⇒∞](A/nΣ[k=1⇒n]1 + B/nΣ[k=1⇒n]1)
 = lim[n⇒∞](A/n・n + B/n・n)
 = lim[n⇒∞](A + B)
 = A + B

「見分けがつかない」というのは数式では表せませんので、そのことにだまされてはいけません。

投稿日時 - 2011-06-16 17:14:34

補足

でも円の体積とかも、教科書(微積使わない説明)では、たくさんの角錐もどきに分解して、細かく分けていけばやがてほとんど角錐だから計算できて・・・みたいな説明でした。それがよくてこの問題ではだめな理由がいまいちわかりません。

投稿日時 - 2011-06-16 17:34:19

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