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質問 |
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| 質問者：zandesu | 楕円の回転体の体積について | |
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困り度：
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楕円 m x^2 + n y^2 = A をX軸のまわりに回転させて得られる回転体の体積を求めたいのですが、どうすればいいのでしょうか？ 助言おねがいします。 |
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質問投稿日時：09/01/05 00:19 質問番号：4604501 |
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この質問に対する回答は締め切られました。
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回答良回答10pt |
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| 回答者：info22 | #2です。 A#2の補足 >積分が全くと言う程できないのです。 そうですか？ V=2π∫[0,a]b^2{1-(x^2/a^2)}dx =2πb^2[x-(1/3)x^3/a^2] [0,a] =2πb^2(2/3)a =(4/3)πab^2 >本来の問題は 4 x^2 + 9 y^2 = 36 なのですが、 x^2/3^2+y^2/2^3=1 >a=3 , b=2 これを上のVに代入すると V=(4/3)π*3*2^2=16π >積分結果が約12π（≒970π/81） なので、これは間違いで、他の回答者の答にもありますが V=16π が正確な答です。 積分も出来るようにして下さい。 |
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| 種類：アドバイス どんな人：経験者 自信：自信あり |
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回答日時：09/01/06 02:28 回答番号：No.5 |
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| この回答へのお礼 | 何度も回答を頂き恐縮です。 積分は苦手ですが自分の力で出来るようになるまで頑張ります。 ありがとうございました。 |
回答良回答20pt |
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| 回答者：Tacosan | 一応 #3 を訂正しておくと, 今の場合は回転楕円体だけど一般には楕円体で OK. まあ, いずれにしても「3軸の長さ」がわかれば体積は積分するまでもないんだけど. 4x^2 + 9y^2 = 36 ってことは x軸方向の長さが 3, y軸方向が 2 ですね. これを x軸まわりに回転させるから z軸方向は y軸方向と同じく長さ 2. 従って体積は (4π/3)×3×2×2 = 16π のような気がする. |
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| 種類：アドバイス どんな人：一般人 自信：参考意見 |
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回答日時：09/01/05 23:30 回答番号：No.4 |
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| この回答へのお礼 | 回答ありがとうございます。 確かにこの方法なら積分をしなくても体積が求められますね。 それになんとなくですが理解もできました。ありがとうございました |
回答 |
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| 回答者：Tacosan | 回転楕円体になるから, 3軸の長さがすべて分かれば球の体積から計算できる.... 積分する必要もないけど反則? |
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| 種類：アドバイス どんな人：一般人 自信：参考意見 |
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回答日時：09/01/05 11:13 回答番号：No.3 |
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| この回答へのお礼 | この回答にお礼をつける(質問者のみ) |
回答 |
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| 回答者：info22 | 楕円なのでm>0,n>,A>0とし A/m=a^2,A/n=b^2…(A)と置くと楕円の標準形 (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 になります。 楕円のX軸の周りの体積Vは回転体の体積の公式から V=π∫[-a,a]y^2dx =2π∫[0,a]b^2{1-(x^2/a^2)}dx これは簡単に積分できますね。 積分後(A)の関係式からa^2,b^2を出して代入すれば答がでます。 あとは自力で出来ますね。 |
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| 種類：アドバイス どんな人：経験者 自信：自信あり |
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回答日時：09/01/05 00:41 回答番号：No.2 |
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| この回答へのお礼 | 回答ありがとうございます。 自分で解いてみたのですが、いま一つ納得できる答えが得られませんでした。 本来の問題は 4 x^2 + 9 y^2 = 36 なのですが、 a=3 , b=2 積分結果が約12π（≒970π/81） という結果でした。 お恥ずかしい話なのですが、積分が全くと言う程できないのです。 誤りがあれば指摘していただければ嬉しいです。 |
回答 |
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| 回答者：owata-www | x=kで切った断面の面積を求めて、それを積分すればいいかと |
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| 種類：アドバイス どんな人：一般人 自信：参考意見 |
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回答日時：09/01/05 00:23 回答番号：No.1 |
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| この回答へのお礼 | この回答にお礼をつける(質問者のみ) |
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