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質問 |
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| 質問者：iamlucky | n階微分？？ | |
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困り度：
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x^n*x^n=x^2nの両辺をライプニッツの公式を使ってn階微分したいのですが…どう解くのかよくわかりません。 ちなみにライプニッツの公式自体はわかります。よかったら教えてください。お願いします。 |
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質問投稿日時：07/06/25 02:54 質問番号：3113507 |
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この質問に対する回答は締め切られました。
最新から表示｜回答順に表示
回答 |
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| 回答者：koko_u_ | >ちなみに[k=0→n]Σ(nCk)^2はどうして(2n)!/(n!)^2になるのですか‥(._.)? えーっと。 それが知りたくて x^n * x^n = x^(2n) の両辺を微分したのではないのですか？ |
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| 種類：補足要求 どんな人：一般人 自信：参考意見 |
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回答日時：07/06/26 10:34 回答番号：No.4 |
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| この回答へのお礼 | この回答にお礼をつける(質問者のみ) |
回答 |
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| 回答者：Mr_Holland | ＃２です。 お礼をありがとうございます。 ＞ちなみに[k=0→n]Σ(nCk)^2はどうして(2n)!/(n!)^2になるのですか‥(._.)? これは公式ですが、求め方を以下に示します。 x,yを任意の実数としますと、(x+y)^(2n) は2項係数を使って次の2通りで表すことができます。 (x+y)^(2n) ＝ [i=0→2n]Σ (2n)Ck x^i y^(2n-i) ・・・・（A) (x+y)^(2n) ＝ {(x+y)^n}^2 ＝ { [k=0→n]ΣnCk x^k y^(n-k) }^2 ＝ [k=0→n]ΣnCk x^k y^(n-k) × [j=0→n]ΣnCj x^(n-j) y^j ＝ [j,k=0→n]Σ nCk nCj x^(n+k-j) y^(n-k+j) ・・・・・（B) この2つの式は、同じものを別の表し方をしたにすぎないので、任意のx、ｙについて常に次の式が成り立ちます。 [i=0→2n]Σ (2n)Ck x^i y^(2n-i) ＝ [j,k=0→n]Σ nCk nCj x^(n+k-j) y^(n-k+j) ・・・・・（C) さらに、この式は、ｘとｙについての恒等式ですので、x^i y^(2n-i) の係数は、両辺で等しくなければなりません。 ここで、式（C)のx^n y^n の項だけについて注目しますと、この項ができるのは、ｉ＝ｎ、ｊ＝ｋのときで、式(C) は次のようになります。 (2n)Cn x^n y^(2n-n) ＝ [k=0→n]Σ nCk nCk x^(n+k-k) y^(n-k+k) ⇔(2n)Cn x^n y^n ＝ [k=0→n]Σ (nCk)^2 x^n y^n したがって、ｘとｙは任意ですので、x^n y^nを除いた係数が等しくなければならず、次の関係が成り立つことになります。 ∴(2n)Cn ＝ [k=0→n]Σ (nCk)^2 ここで、両辺を入れ換えて、(2n)Cn を階乗の式で表すと、求める公式が得られます。 ∴[k=0→n]Σ (nCk)^2 ＝ (2n)!/(n!)^2 ＞それと(2n)!/(n!)はなんでx^nなのでしょうか ＃２の「(左辺)」、「(右辺)」で誤解されたのかもしれません。 厳密に言えば、「(左辺)」は(左辺のｎ階微分)で、「(右辺)」は(右辺のｎ階微分)だと思ってください。 |
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| 種類：アドバイス どんな人：一般人 自信：参考意見 |
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回答日時：07/06/26 09:25 回答番号：No.3 |
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| この回答へのお礼 | この回答にお礼をつける(質問者のみ) |
回答 |
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| 回答者：Mr_Holland | 左辺にライプニッツの公式を適用しますと、次のように変形できて、右辺に公式を適用したものになります。 (左辺) ＝[k=0→n]ΣnCk・n!/(n-k)!・x^(n-k)・n!/{n-(n-k)}!・x^{n-(n-k)} ＝[k=0→n]Σn!(nCk)^2・x^n ＝n!・x^n・[k=0→n]Σ(nCk)^2 ＝n!・x^n・(2n)!/(n!)^2 （∵ [k=0→n]Σ(nCk)^2＝(2n)!/(n!)^2 ） ＝(2n)!/(n!)・x^n ＝(右辺) |
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| 種類：アドバイス どんな人：一般人 自信：参考意見 |
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回答日時：07/06/25 10:11 回答番号：No.2 |
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| この回答へのお礼 | 丁寧にありがとうございます。 ちなみに[k=0→n]Σ(nCk)^2はどうして(2n)!/(n!)^2になるのですか‥(._.)?それと(2n)!/(n!)はなんでx^nなのでしょうか…度々すみません。お願いします。 |
回答 |
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| 回答者：koko_u_ | >どう解くのかよくわかりません。 x^n * x^n についてのみライプニッツの公式を使えばよろしい。 |
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| 種類：アドバイス どんな人：一般人 自信：参考意見 |
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回答日時：07/06/25 06:06 回答番号：No.1 |
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| この回答へのお礼 | この回答にお礼をつける(質問者のみ) |
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