留数の求め方について - MSN相談箱

　どんな公式を使ったのでしょうか。
　留数の基本どおりに求めるのが簡単なように思います。

　関数f(z)のz=0における留数をb1とすると、b1は関数f(z)をz=0でローラン展開したときの1/zの係数になっていますので、
　　f(z)＝1/z^2-z/3-z^2/45-・・・
　∴b1＝０
と求めることができます。
　このとき、g(z)=z^2・f(z)=z・cot(z)とおくと、g'(0)がg(z)を展開したときのzの係数であることから、f(z)の1/zの係数になることを利用すれば、より早く解くことができます。
　　b1=g'(0)=[z→0]lim[cot(z)-z/{sin(z)}^2]=0　（ロピタルの定理を駆使）

　一方、f(z)が正則関数の商であることを利用するものでは、
　　f(z)=p(z)/q(z), p(z)=cos(z), q(z)=z・sin(z)
とおくと、2位の極においける留数は
　　b1＝2p'(0)/q''(0)-2/3・p(0)q'''(0)/{q''(0)}^2
となりますので、
　　p(z)=cos(z) 　　　p(0)=1
　　p'(z)=-sin(z) 　　　p'(z)=0

　　q(z)=z・sin(z)
　　q'(z)=sin(z)+z・cos(z)
　　q''(z)=2cos(z)-z・sin(z)　　q''(0)=2
　　q'''(z)=-3sin(z)-z・cos(z)　q'''(0)=0
から、
　　b1＝０
と求めることもできますが、3階微分まで行わなければならないので大変です。

投稿日時 - 2007-06-10 10:00:09